SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS.

Si en un binomio aparecen cubos perfectos, bases elevadas a la potencia tres, podremos realizar una factorización mediante SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.

Algunos cubos perfectos: 

1^3 = 1*1*1 = 1

2^3 = 2*2*2 = 8

3^3 = 3*3*3 = 27

4^3 = 4*4*4 = 64

5^3 = 5*5*5 = 125

6^3 = 6*6*6 = 216 

7^3 = 7*7*7 = 343

8^3 = 8*8*8 = 512 

9^3 = 9*9*9 = 729

10^3 = 10*10*10 = 100

...

X*X*X= X^3

(X^3)^3 = X^9

(XY)^3 = X^3Y^3

(X^2Y^3)^3 = X^6Y^9

...

Para dar inicio a la factorización de una suma y diferencia de cubos, abrimos dos pares de paréntesis, que recibirán el nombre de factor largo y corto. En el primer paréntesis, factor corto, escribimos las raíces cúbicas de los términos del binomio, es decir, la base a la que fue elevada para obtener el cubo perfecto; y el signo de suma o resta lo determina el mismo binomio, si es suma irá suma y resta si es resta. En el factor largo ocurrirá los siguiente: empezaremos elevando al cuadrado la raíz cúbica del primer término del binomio; después reduciremos una potencia la raíz  del primer término, mientras que la raíz del segundo aumenta a la potencia uno; finalmente elevamos al cuadrado la raíz cúbica del segundo término. Los signos del factor largo se determinan por lo siguiente: Si se trata de una resta, entonces todos los signos serán positivos; si se trata de una suma, entonces los términos se intercalarán de positivo a negativo empezando en  el primero, que es la raíz al cuadrado del primer término del binomio.

Factorizar 27 - 64X^3. Revisamos de que sí se traten de cubos perfectos: efectivamente lo son. Extraemos sus raíces cúbicas: la de 27 es 3; la de 64X^3 es 4X. Definimos al factor corto,  colocamos allí las raíces en forma de resta puesto que al principio se trata de una resta: (3 - 4X). Definimos al factor largo, allí realizamos, como ya se dijo, lo siguiente: la raíz del primero la elevamos al cuadrado (3^2 = 9); reducimos una potencia la raíz del primer término del binomio, mientras que la segunda aumenta (3*4X= 12X); finalmente elevamos al cuadrado la raíz del segundo término del binomio ( (4X)^2 = 16X^2). Al tratarse de una resta, todos los signos del factor largo irán positivos: (9 + 12X + 16X^2). 

Se concluye la factorización: 27 - 64X^3 = (3 - 4X)*(9 + 12X + 16X^2)

Otros ejemplos: 

125X^6 - 1 = (5X^2 - 1)*( 25X^4 + 5X^2 + 1)

X^3Y^3 + 343 = (XY + 7)*( X^2Y^2 - 7XY + 49)

64X^3 - 8 = (4X - 2)*( 16X^2 + 8X + 4)

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