DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Antes de dar inicio al caso de factorización DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS, definiremos lo qué es un cuadrado perfecto. Se entiende como cuadrado perfecto al resultado de elevar a la potencia DOS un número. Algunos ejemplos de cuadrados perfectos:

 1^2 = 1*1 = 1

2^2 = 2*2 = 4

3^2= 3*3 = 9

4^2 = 4*4 = 16

5^2 = 5*5 = 25

6^2 = 6*6= 36

7^2 = 7*7 = 49

8^2 = 8*8 = 64

9*9 = 9*9 = 81

...

X*X = X^2

(X^2)^2 = X^4 

(XY)^2 = X^2Y^2

(X^3)^2 = X^6

...

Entendiendo lo qué es un cuadrado perfecto, una diferencia de cuadrados se da cuando en un BINOMIO (dos términos) aparecen cuadrados perfectos, tales que el primero se encuentre SUMANDO, y el segundo RESTANDO: 9X^2 - 4 es una diferencia de cuadrados puesto que 9X^2 es cuadrado perfecto de (3X)^2, y 4 de (2^2); el 9X^2 está positivo (sumando) y 4 está restando. 

Para continuar con la factorización, abrimos dos paréntesis ( ) ( ), multiplicándose entre sí. En el primer paréntesis irá en forma de suma la base a la que se fue elevada para obtener los cuadrados perfectos de cada término, es decir, SU RAÍZ CUADRADA;  en el segundo paréntesis también irán las raíces pero en forma de resta. 9X^2 se obtiene elevando 3X al cuadrado (potencia dos), y 4 elevando a 2. Entonces las raíces cuadradas de 9X^2 y 4 respectivamente son 3X y 2. En cada paréntesis escribimos las raíces, en uno sumándose y en el otro restándose: (3X + 2) * (3X - 2). Se concluye que 9X^2 - 4 equivale, por medio de factorización, a (3X + 2) * (3X - 2):  9X^2 -4 = (3X+2)*(3X - 2).

El nombre DIFERENCIA quiere decir resta, o sea, solamente podemos aplicar el caso de factorización "DIFERENCIA DE CUADRADOS" cuando dos cuadrados perfectos se estén RESTANDO. 

Ejemplos que NO son diferencia de cuadrados perfectos:

Y^2 + X^2; al tratarse de una adición no corresponde a este caso de factoirazación 

-Y^2 - X^2; tampoco corresponde a una diferencia de cuadrados, puesto que ambos están restando; en una diferencia de cuadrados solamente un término resta.

9 - X, no es una diferencia puesto que la X no es un cuadrado perfecto; mientras que el 9 sí.

Ejemplos de diferencias de cuadrados: 

X^2 - 1 = (X+1)*(X-1)

16Y^2 - 9 + 4Y + 3 = (4Y+3)*(4Y-3) + 4Y+3 = (4Y+3)*[(4Y-3) + 1] 

36 - 9X^2 = (6+3X)*(6-3X) = 3(2+X)* 3(2-X) = 9*(2+X)*(2-X)

81M^4 - 16N^8 = (9M^2+4N^4)*(9M^2-4N^4) = (9M^2+4N^4)*(3M+2N^2)*(3M-2N^2)

Vídeo: