TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

En las leyes de potencia vimos que si una multiplicación o división estaban elevadas a una potencia, repartíamos el exponentes a sus factores o a su numerador y denominador. Ejemplo: (9*5)^3 = 9^3 * 5^3; ( 9/5)^3 = 9^3 / 5^3. No se había especificado los casos en los que se trataba de una suma o resta. Pues bien, se hablará de ello en el caso "TRINOMIO CUADRADO PERFECTO" (TCP).

(X + Y)^2 = X^2 + Y^2. En la situación donde aparezca una suma o resta elevadas a una potencia, tomaremos como base de la potencia a dicha suma o resta, y mediante propiedad distributiva efectuaremos la multiplicación, según lo indique el exponente. Realizaremos un ejemplo para aclarar lo anterior.

(X+Y)^2. Nos dicen que la base de la potencia es (X+Y), y según el exponente nos piden que la multipliquemos dos veces. Entonces (X+Y)^2 = (X+Y)*(X+Y). Para efectuar la multiplicación es necesario aplicar la propiedad distributiva. Son dos factores (X+Y), al primer sumando lo multiplicamos por cada sumando del segundo factor: (X+Y)*(X+Y) y (X+Y)*(X+Y). X por X es X^2; X por Y es XY; Y por X es XY y Y por Y es Y^2. Agrupamos los productos resultantes de la multiplicación: X^2 + XY + XY + Y^2. Se tienen a dos XY, entonces sumamos sus coeficientes 1: XY + XY= 2XY. Concluimos que:

(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2 

Observando el resultado obtenido, nos damos cuenta que posee tres términos, o sea, se trata de un TRINOMIO.  Estamos hablando del caso de factorización TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP). Un TCP resulta de efectuar la potencia al cuadrado de un binomio(dos términos) que está en forma de suma o resta:

Podríamos definir al TCP como el desarrollo de un binomio al cuadrado, que resulta de elevar el primer término (a) al cuadrado, más o menos (depende si es suma o resta) dos veces el primer término por el segundo (b), más el segundo al cuadrado.

Ejemplo para identificar un TCP:

4X^2 - 12XY + 9Y^2. Lo primero que ha de observarse es que tenga tres términos, efectivamente tenemos un trinomio; lo siguiente es verificar si dos de los términos tienen raíces cuadradas exactas, es decir, si están elevados a una potencia cuadrada; y por último verificar que el doble producto (multiplicación) de las raíces cuadradas de los dos término den como resultado el tercer término.

4X^2 se obtiene de elevar 2X al cuadrado, su raíz cuadrada es 2X

9Y^2 se obtiene de elevar 3Y al cuadrado, su raíz cuadrada es 3Y

Verifiquemos si el doble producto de la raíces nos dan el tercer término: 2*(2X*3Y) = 2*(6XY) = 12XY

Efectivamente se obtuvo el término que faltaba. Decimos que se trata de un TCP.

Para continuar con la factorización, abrimos un paréntesis elevado al cuadrado ( )^2, en el escribimos la raíz del primer término y después la del segundo. Para definir si se trata de una suma o resta, solamente multiplicamos los signos del trinomio: + * - * + = -. Entonces el binomio será una resta:

(2X - 3Y)^2 = 4X^2 - 12XY + 9Y^2. De esta forma se concluye la factorización de un TCP.


9 + 30M + 25M^2 = (3 + 5M)^2

N^2 + 4 - 4N = (N - 2)^2

49 - 14X + X^2 = (X-7)^2

TRIÁNGULO DE PASCAL

También podemos desarrollar binomios elevados a potencias distintas de dos. Por ejemplo, podemos desarrollar un binomio al cubo (potencia tres): (X+Y)^3. Para desarrollar el binomio sin necesidad de utilizar la propiedad distributiva de la multiplicación, se hace uso del triángulo de pascal. El triángulo de pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. En un trinomio cuadrado perfecto, elevando un binomio a la potencia dos, resultaban tres términos, dos elevados al cuadrado y uno era el doble producto de los términos del binomio. Aquel doble producto resulta del triángulo de pascal, en la escala tres: 1-2-1. Cada escala representa la potencia a la que es elevada el binomio, empezando desde 0. Los coeficientes son las veces del producto de los términos del binomio, empezando desde el primero según la potencia elevada, y se va reduciendo hasta llegar a a la potencia cero, mientras que el segundo término aumenta hasta llegar a la potencia a la cual fue elevada el binomio. Retomemos el ejemplo (X+Y)^3

El binomio está elevada a la potencia TRES, entonces busquemos la escala cuatro en el triángulo de pascal para definir los coeficientes: 1-3-3-1. El binomio está compuesto por X y Y, y elevado a la potencia tres. Entonces escribimos el primer término elevado al cubo (X^3); tres veces, nos los dice los coeficientes del triángulo de pascal, el primero reducido una potencia (X^2) por el segundo (Y) que irá aumentando de potencia (3*X^2*Y); de nuevo tres veces el primero (X) por el segundo al cuadrado (Y^2), que está aumentando de a una potencia (3*X*Y^2); y finalmente 1 vez el segundo al cubo (Y^3).

El desarrollo de cualquier binomio al cubo (potencia tres) es: X^2 + 3X^2*Y + 3X*Y^2 + Y^3

Los signos dependerán del binomio: si está en forma de suma, todos los términos irán positivos; si está en forma de resta los términos irán intercalados empezando por signo positivo en el primer término.

(X-Y)^3 = X^3 - 3X^2*Y + 3X*Y^2 - Y^3

El triángulo de pascal nos facilita la tarea de eludir a la propiedad distributiva para desarrollar los binomios elevados a cualquier potencia:

(X+Y)^4 = X^4 + 4X^3*Y + 6X^2*Y^2 + 4X*Y^3 + Y^4

(X-Y)^5 = X^5 - 5X^4*Y +10X^3*Y^2 - 10X^2*Y^3 + 5X*Y^4 - Y^5

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